三．解答题

（16）（本小题满分12分）

设函数.

（Ⅰ）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；

（Ⅱ）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.

【解析】（1）

当时，，此时

所以，的最小值为，此时x 的集合.

(2)横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得；

然后向左平移个单位，得

【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.

（17）（本小题满分12分）

为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

甲 乙

7 4 5

5 3 3 2 5 3 3 8

5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5

8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9

7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8

2 0 9 0

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；

（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计的值.

【解析】（1）

（2）

=

=

【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力.

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知 .

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.

【解析】

（1）证明：连接交于点

又是菱形

而 ⊥面 ⊥

(2) 由（1）⊥面

=

【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力.

（19）（本小题满分13分）

设数列满足，,且对任意，函数 满足

(Ⅰ)求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

【解析】

由

所以，

是等差数列.

而

（2）

【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.

（20）（本小题满分13分）

设函数，其中，区间.

（Ⅰ）求的长度（注：区间的长度定义为；

（Ⅱ）给定常数，当时，求长度的最小值.

【解析】

（1）令

解得

的长度

（2） 则

由 （1）

，则

故关于在上单调递增，在上单调递减.

【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.

（21）（本小题满分13分）

已知椭圆的焦距为4，且过点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为。取点,连接，过点作的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.

【解析】

（1）因为椭圆过点

且

椭圆C的方程是

（2）

由题意，各点的坐标如上图所示，

则的直线方程：

化简得

又，

所以带入

求得最后

所以直线与椭圆只有一个公共点.

【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力.

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