21.(本小题满分13分）

如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。

（Ⅰ）求，的方程；

（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.

（i）证明：；

(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?

请说明理由。

解析：（I）由题意知，从而，又，解得。

故，的方程分别为。

（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.

由得，

设，则是上述方程的两个实根，于是。

又点的坐标为，所以

故，即。

（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为

又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.

于是

由得，

解得或，则点的坐标为；

又直线的斜率为，同理可得点的坐标

于是

因此

由题意知，解得 或。

又由点的坐标可知，，所以

故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。

22.（本小题满分13分）

已知函数() =，g ()=+。

（Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；

（Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .

解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点

解法1：，记，则。

当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；

所以，

当时，单调递减，而，则在内无零点；

当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；

从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。

解法2：，记，则。

当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，

综上所述，有且只有两个零点。

（II）记的正零点为，即。

（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；

②假设当时，有成立，则当时，由

知，，因此，当时，成立。

故对任意的，成立。

（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；

②假设当时，有成立，则当时，由

知，，因此，当时，成立。

故对任意的，成立。

综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.

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