16. （共14分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

（1）求证：平面PAC；

（2）若，求PB与AC所成角的余弦值；

（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

【解析】：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以又因为平面。所以，

所以平面。

（Ⅱ）设，因为

所以，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则所设与所成角为，则

（Ⅲ）由（Ⅱ）知设。则设平面的法

向量则，所以令则，

所以同理，平面的法向量，因为平面，所以，即解得，所以

17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，

在图中以X表示。

（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为，，…，的平均数）

【解析】：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为

方差为

（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=

同理可得

所以随机变量Y的分布列为：

==19

18.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，，都有，求的取值范围。

【解析】：（Ⅰ），令，当时，的情况如下：

所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：

所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是。

（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等价于， 解得故当时，的取值范围是[，0]。

19.已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为m的函数，并求的最大值。

【解析】：：（Ⅰ）由已知得 所以所以椭圆的焦点坐标为 ，离心率为

（Ⅱ）（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=－1时，同理可得

当时，设切线l的方程为由

设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以

由于当时，

所以.因为

且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2

20.若数列：，，…，满足（，2，…，），则称为E数列。记.（1）写出一个满足，且的E数列；（2）若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是；（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。

【解析】：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）

（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a2000—a10001，a2000—a10001……a2—a11所以a2000—a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。

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