倒数第5天　解析几何
[保温特训]
1．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则实数a＝________.
解析　由a(a－1)－2×1＝0得：a＝－1，或a＝2，验证，当a＝2时两直线重合，当a＝－1时两直线平行．
答案　－1
2．当直线l：y＝k(x－1)＋2被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，k的值为________．
解析　依题意知直线l过定点P(1,2)，圆心C(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线l垂直时，直线l被
圆C截得的弦最短，则k·＝－1，得k＝1.
答案　1
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a[pic]＝________.
解析　由得2ay＝2，即y＝，则2＋2＝22，解得a＝1.
答案　1
4．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________．
解析　椭圆的焦距为4，所以2c＝4，c＝2因为准线为x＝－4，所以椭圆的焦点在x轴上，且－＝－4，所以a2＝4c
＝8，b2＝a2－c2＝8－4＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.
答案　＋＝1
5．直线x－2y＋2＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．
解析　直线x－2y＋2＝0与坐标轴的交点为(－2，0)，(0,1)，依题意得，
c＝2，b＝1=>a＝=>e＝.
答案　
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于
x轴，则椭圆的离心率为________．
解析　不妨设|F1F2|＝1.∵直线MF2的倾斜角为120°，∴∠MF2F1＝[pic]60°，∴|MF2|＝2，|MF1|＝，2a＝|MF1|＋|M
F2|＝2＋，2c＝|F1F2|＝1，∴e＝＝2－.
答案　2－
7．[pic]已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的
方程为________．
解析　由圆[pic]C：x2＋y2－6x－2y＝0得，圆心坐标为(3,1)，半径r＝，所以对称圆C′的圆心为(1＋1,3－1)即
(2,2)，所以(x－2)2＋(y－2)2＝10.
答案　(x－2)2＋(y－2)2＝10
8．在△ABC中，∠ACB＝60°，sin A∶sin B＝8∶5，则以A，B为焦点且过点C的椭圆的离心率为________．
解析　设BC＝m，AC＝n，则
＝，m＋n＝2a，(2c)2＝m2＋n2－2mncos 60°，
先求得m＝a，n＝a，代入得4c2＝a2，e＝.
答案　
9．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)，C(4,0)，顶点[pic]B在椭圆＋＝1上，则等于________．

解析　由正弦定理得＝＝＝.
答案　
10[pic]．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，[pic]若点
(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．
解析　双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，点(1,2)在该直线的上方，由线性规划知识，知：2＞，所以e2＝1＋2＜
5，故e∈(1，)．
答案　(1，)
11[pic]．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线
段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．
解析　由题意知：B，A(a,0)，F(c,0)，则2a＝c－，
即e2－2e－1＝0，解得e＝＋1.
答案　＋1
12．过直线l：y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线l1，l2，若l1，l2关[pic]于直线l对称，则点P到
圆心C的距离为________．
解析　根据平面几何知识可知，因为直线l1，l2关于直线l对称，所以直线l1，l2关于直线PC对称[pic]并且直线
PC垂直于直线l，于是点P到点C的距离即为[pic]圆心C到直线[pic]l的距离，d＝＝3.
答案　3
13．已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：x＝2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的

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