解答题押题练D组
1．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＝ccos B＋bcos C.
(1)求角B的大小；
(2)设向量m＝(cos A，cos 2A)，n＝(12，－5)，求当m·n取最大值时，tan C的值．
解　(1)由题意，sin Acos B＝sin Ccos B＋cos Csin B，(2分)
所以sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A．(3分)
因为0＜A＜π，所以sin A≠0.
所以cos B＝.(5分)
因为0＜B＜π，所以B＝.(6分)
(2)因为m·n＝12cos A－5cos 2A，(8分)
所以m·n＝－10cos2A＋12cos A＋5
＝－102＋.(10分)
所以当cos A＝时，m·n取最大值．
此时sin A＝(0＜A＜)，于是tan A＝.(12分)
所以tan C＝－tan(A＋B)＝－＝7.(14分)
2．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD＝[pic]2，CD＝4，E为边DC的中点，如图1.将△ADE沿AE折起到△AEP位置
，连PB、PC，点Q是棱AE的中点，点M在棱PC上，如图2.
(1)若PA∥平面MQB，求PM∶MC；
(2)若平面AEP⊥平面ABCE，点M是PC的中点，求三棱锥A -MQB的体积．
[pic]
图1　　　　　　　　图2　　
解　(1)连AC、BQ，设AC∩BQ＝F，连MF.
则平面PAC∩平面MQB＝MF，因为PA∥平面MQB，PA?平面PAC，所以PA∥MF.(2分)
在等腰梯形ABCD中，E为边DC的中点，所以由题设，AB＝EC＝2.
所以四边形ABCE为平行四边形，则AE∥BC.(4分)
从而△AFQ∽△CFB，AF∶FC＝AQ∶CB＝1∶2.
又PA∥MF，所以△FMC∽△APC，所以PM∶MC＝AF∶FC＝1∶2.(7分)
(2)由(1)知，△AED是边长为2的正三角形，从而PQ⊥AE.
因为平面AEP⊥平面ABCE，交线为AE，所以PQ⊥平面ABCE，PQ⊥QB，且PQ＝.
因为PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面ABCE，交线为QC.(9分)
过点M作MN⊥QC于N，则MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱锥M -ABQ的高．
因为PQ⊥平面ABCE，MN⊥平面ABCE，[pic]所以PQ∥MN.
因为点M是PC的中点，所以MN＝PQ＝.(11分)
由(1)知，△ABE为正三角形，且边长为2.所以，S△ABQ＝.
三棱锥A -MQB的体积VA -MQB＝VM -ABQ＝××＝.(14分)
3．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池[pic]
，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.
(1)用a，θ表示S1和S2；
(2)当a固定，θ变化时，求的最小值．
解　(1)S1＝asin θ·acos θ＝a2sin 2θ，
设正方[pic]形边长为x，则BQ＝，RC＝xtan θ，
∴＋xtan θ＋x＝a，
∴x＝＝，(4分)
S2＝2＝，(6分)
(2)当a固定，θ变化时，
＝，
令sin 2θ＝t，
则＝(0＜t≤1)，
利用单调性求得t＝1时，min＝.(14

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