19．（2013济宁）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”

请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程﹣=0无解，方程x2+kx+6=0的一个根是m．

（1）求m和k的值；

（2）求方程x2+kx+6=0的另一个根．

考点：解分式方程；根与系数的关系．

专题：阅读型．

分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值；

（2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根．

解答：解：（1）分式方程去分母得：m﹣1﹣x=0，

由题意将x=1代入得：m﹣1﹣1=0，即m=2，

将m=2代入方程得：4+2k+6=0，即k=﹣5；

（2）设方程另一根为a，则有2a=6，即a=3．

点评：此题考查了解分式方程，以及根与系数的关系，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．　

20．（2013济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：AF=BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；

（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，

∴∠DAF+∠BAF=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴∠ABE=∠DAF，

∵在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（ASA），

∴AF=BE；

（2）解：MP与NQ相等．

理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，

则与（1）的情况完全相同．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．　

21．（2013济宁）阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．

证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．

∴a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．

举例应用：已知x＞0，求函数y=2x+的最小值．

解：y=2x+≥=4．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．

当x=1时，函数取得最小值，y最小=4．

问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．

（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．

考点：反比例函数的应用；一元一次不等式的应用．

分析：（1）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可；

（2）经济时速就是耗油量最小的形式速度．

解答：解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．

∴y=x×（+）=（70≤x≤110）；

（2）根据材料得：当时有最小值，

解得：x=90

∴该汽车的经济时速为90千米/小时；

当x=90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1升，

点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料．　

22．（2013济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．

（1）求证：线段AB为⊙P的直径；

（2）求△AOB的面积；

（3）如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．

求证：DO•OC=BO•OA．

考点：反比例函数综合题．

分析：（1）∠AOB=90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径；

（2）将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；

（3）对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变，与△AOB的面积相等．

解答：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，

∴AB是⊙P的直径．

（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），

∵点P是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，∴mn=12．

如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．

由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，

∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，

∴S△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．

（3）证明：若点Q为反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，

参照（2），同理可得：S△COD=DO•CO=24，

则有：S△COD=S△AOB=24，即BO•OA=DO•CO，

∴DO•OC=BO•OA．

点评：本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义．对本题而言，若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q所形成的⊙Q，此结论依然成立．　

23．（2013济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．

（1）求点P运动的速度是多少？

（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

考点：一次函数综合题．

分析：（1）根据直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度；

（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；

（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．

解答：解：（1）∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，

∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，

∴==，

当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，

∵EP∥BO，

∴==，

∴AP=2t，

∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，

∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；

（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，

则∵OQ=FQ=t，PA=2t，

∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，

∴8﹣3t=t，

解得：t=2，

如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，

∵OQ=t，PA=2t，

∴OP=8﹣2t，

∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，

∴t=3t﹣8，

解得：t=4；

（3）如图1，当Q在P点的左边时，

∵OQ=t，PA=2t，

∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，

∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8﹣3t）•t=8t﹣3t2，

当t=﹣=时，

S矩形PEFQ的最大值为：=4，

如图2，当Q在P点的右边时，

∵OQ=t，PA=2t，

∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，

∴S矩形PEFQ=QP•QE=（3t﹣8）•t=3t2﹣8t，

∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，

∴0≤t≤4，

当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最小，

∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42﹣8×4=16，

综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．

点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．　

点击此处下载文档(rar格式，317.52KB)