21．（7分）（2013•烟台）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： （1）求出OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；

（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标．

解答： 解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，

∴OA=BC=2，

将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，

∴M（2，2），

把M的坐标代入y=得：k=4，

∴反比例函数的解析式是y=；

（2）∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON

=4×2﹣4=4，

由题意得： OP×AM=4，

∵AM=2，

∴OP=4，

∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．

点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中．

22．（9分）（2013•烟台）今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．

对雾霾了解程度的统计表：

请结合统计图表，回答下列问题．

（1）本次参与调查的学生共有　400　人，m=　15%　，n=　35%　；

（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是　126　度；

（3）请补全图1示数的条形统计图；

（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从“非常了解”态度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

考点： 游戏公平性；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．

分析： （1）根据“基本了解”的人数以及所占比例，可求得总人数；在根据频数、百分比之间的关系，可得m，n的值；

（2）根据在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的度数与360°的比可得出统计图中D部分扇形所对应的圆心角；

（3）根据D等级的人数为：400×35%=140；可得（3）的答案；

（4）用树状图列举出所有可能，进而得出答案．

解答： 解：（1）利用条形图和扇形图可得出：本次参与调查的学生共有：180÷45%=400；

m=×100%=15%，n=1﹣5%﹣15%﹣45%=35%；

（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是：360°×35%=126°；

（3）∵D等级的人数为：400×35%=140；

如图所示：

；

（4）列树状图得：

所以从树状图可以看出所有可能的结果有12种，数字之和为奇数的有8种，

则小明参加的概率为：P==，

小刚参加的概率为：P==，

故游戏规则不公平．

故答案为：400，15%，35%；126．

点评： 此题主要考查了游戏公平性，涉及扇形统计图的意义与特点，即可以比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系．

23．（8分）（2013•烟台）烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）．问：

（1）苹果进价为每千克多少元？

（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．

考点： 分式方程的应用．

分析： （1）先设苹果进价为每千克x元，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案；

（2）根据（1）求出每个超市苹果总量，再根据大、小苹果售价分别为10元和5.5元，求出乙超市获利，再与甲超市获利2100元相比较即可．

解答： 解：（1）设苹果进价为每千克x元，根据题意得：

400x+10%x（﹣400）=2100，

解得：x=5，

经检验x=5是原方程的解，

答：苹果进价为每千克5元．

（2）由（1）得，每个超市苹果总量为：=600（千克），

大、小苹果售价分别为10元和5.5元，

则乙超市获利600×（﹣5）=1650（元），

∵甲超市获利2100元，

∴甲超市销售方式更合算．

点评： 此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，解方程时要注意检验．

24．（2013•烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．

（1）求证：CB=CF；

（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=，求⊙O的半径．

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）如图1，通过相似三角形（△AEF∽△AEB）的对应角相等推知，∠1=∠EAB；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论；

（2）如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．根据（1）中的相似三角形的性质证得∠4=∠5，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧AD的中点，则OE⊥AD；然后通过解直角△ABC求得cos∠C=sin∠GAO==，则以求r的值．

解答： （1）证明：如图1，

∵AE2=EF•EB，

∴=．

又∠AEF=∠AEB，

∴△AEF∽△AEB，

∴∠1=∠EAB．

∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，

∴∠2=∠3，

∴CB=CF；

（2）解：如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．

由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5．

∴=．

∴OE⊥AD，

∴EG=1．

∵cos∠C=，且∠C+∠GAO=90°，

∴sin∠GAO=，

∴=，即=，

解得，r=，即⊙O的半径是．

点评： 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质．解答（2）题的难点是推知点E是弧AD的中点．

25．（10分）（2013•烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　AE∥BF　，QE与QF的数量关系式　QE=QF　；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

考点： 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．

分析： （1）证△BFQ≌△AEQ即可；

（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；

（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．

解答： 解：（1）AE∥BF，QE=QF，

理由是：如图1，∵Q为AB中点，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，

在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ（AAS），

∴QE=QF，

故答案为：AE∥BF，QE=QF．

（2）QE=QF，

证明：如图2，延长FQ交AE于D，

∵AE∥BF，

∴∠QAD=∠FBQ，

在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），

∴QF=QD，

∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，

∴QE=QF=QD，

即QE=QF．

（3）（2）中的结论仍然成立，

证明：如图3，

延长EQ、FB交于D，

∵AE∥BF，

∴∠1=∠D，

在△AQE和△BQD中

，

∴△AQE≌△BQD（AAS），

∴QE=QD，

∵BF⊥CP，

∴FQ是斜边DE上的中线，

∴QE=QF．

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

26．（2013•烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：直线BE是⊙D的切线；

（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值；

（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，构建相似三角形△EGD∽△ECB，根据它的对应边成比例得到=，由此求得DG=1（圆的半径是1），则易证得结论；

（3）利用待定系数法求得直线BE为：y=x+．则易求P（1，）．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到CN=t，DN=t﹣1．所以

S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣+t（0＜t＜2）．由抛物线的性质可以求得S的最值．

解答： 解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（﹣，0），

则，

解得，，

∴该二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+2；

（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．

由题意，得

ED=+1=，EC=2+=，BC=2，

∴BE==．

∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，

∴△EGD∽△ECB，

∴=，

∴DG=1．

∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，

∴BE是⊙D的切线；

（3）由题意，得

E（﹣，0），B（2，2）．

设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则

，

解得，，

∴直线BE为：y=x+．

∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，

∴点P的纵坐标y=，即P（1，）．

∵MN∥BE，

∴∠MNC=∠BEC．

∵∠C=∠C=90°，

∴△MNC∽△BEC，

∴=，

∴=，则CN=t，

∴DN=t﹣1，

∴S△PND=DN•PD=（t﹣1）•=t﹣．

S△MNC=CN•CM=×t•t=t2．

S梯形PDCM=（PD+CM）•CD=•（+t）•1=+t．

∵S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣+t（0＜t＜2）．

∵抛物线S=﹣+t（0＜t＜2）的开口方向向下，

∴S存在最大值．当t=1时，S最大=．

点评： 本题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法．注意配方法在（3）题中的应用．

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