二、填空题(本题共6小题,每小题3分,满分18分)
13.(3分)(2013•烟台)分解因式:a2b﹣4b3= b(a+2b)(a﹣2b) .
考点: 提公因式法与公式法的综合运用.
分析: 先提取公因式b,再根据平方差公式进行二次分解.平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
解答: 解:a2b﹣4b3=b(a2﹣4b2)
=b(a+2b)(a﹣2b).
故答案为b(a+2b)(a﹣2b).
点评: 本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解要彻底.
14.(3分)(2013•烟台)不等式的最小整数解是 x=3 .
考点: 一元一次不等式组的整数解.
分析: 先求出一元一次不等式组的解集,再根据x是整数得出最小整数解.
解答: 解:,
解不等式①,得x≥1,
解不等式②,得x>2,
所以不等式组的解集为x>2,
所以最小整数解为3.
故答案为:x=3.
点评: 此题考查的是一元一次不等式组的整数解,正确解出不等式组的解集是解决本题的关键.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
15.(3分)(2013•烟台)如图,四边形ABCD是等腰梯形,∠ABC=60°,若其四边满足长度的众数为5,平均数为,上、下底之比为1:2,则BD= .
考点: 等腰梯形的性质;算术平均数;众数.
分析: 设梯形的四边长为5,5,x,2x,根据平均数求出四边长,求出△BDC是直角三角形,根据勾股定理求出即可.
解答: 解:设梯形的四边长为5,5,x,2x,
则=,
x=5,
则AB=CD=5,AD=5,BC=10,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵∠ABC=60°,
∴∠DBC=30°,
∵等腰梯形ABCD,AB=DC,
∴∠C=∠ABC=60°,
∴∠BDC=90°,
∴在Rt△BDC中,由勾股定理得:BD==5,
故答案为:5.
点评: 本题考查了梯形性质,平行线性质,勾股定理,三角形内角和定理,等腰三角形的性质等知识点的应用,关键是求出BC、DC长和得出三角形DCB是等腰三角形.
16.(3分)(2013•烟台)如图,▱ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为 15 .
考点: 三角形中位线定理;平行四边形的性质.
分析: 根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得,OB=OD,又因为E点是CD的中点,可得OE是△BCD的中位线,可得OE=BC,所以易求△DOE的周长.
解答: 解:∵▱ABCD的周长为36,
∴2(BC+CD)=36,则BC+CD=18.
∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,BD=12,
∴OD=OB=BD=6.
又∵点E是CD的中点,
∴OE是△BCD的中位线,DE=CD,
∴OE=BC,
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+(BC+CD)=6+9=15,即△DOE的周长为15.
故答案是:15.
点评: 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质.解题时,利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质.
17.(3分)(2013•烟台)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC为 108 度.
考点: 线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;翻折变换(折叠问题).
分析: 连接OB、OC,根据角平分线的定义求出∠BAO,根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB,根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO,再求出∠OBC,然后判断出点O是△ABC的外心,根据三角形外心的性质可得OB=OC,再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC,根据翻折的性质可得OE=CE,然后根据等边对等角求出∠COE,再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
解答: 解:如图,连接OB、OC,
∵∠BAC=54°,AO为∠BAC的平分线,
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°,
又∵AB=AC,
∴∠ABC=(180°﹣∠BAC)=(180°﹣54°)=63°,
∵DO是AB的垂直平分线,
∴OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO=27°,
∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°,
∵DO是AB的垂直平分线,AO为∠BAC的平分线,
∴点O是△ABC的外心,
∴OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=36°,
∵将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,
∴OE=CE,
∴∠COE=∠OCB=36°,
在△OCE中,∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°.
故答案为:108.
点评: 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰三角形三线合一的性质,等边对等角的性质,以及翻折变换的性质,综合性较强,难度较大,作辅助线,构造出等腰三角形是解题的关键.
18.(3分)(2013•烟台)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在BC上,四边形EFGB也是正方形,以B为圆心,BA长为半径画,连结AF,CF,则图中阴影部分面积为 4π .
考点: 正方形的性质;整式的混合运算.
分析: 设正方形EFGB的边长为a,表示出CE、AG,然后根据阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF,列式计算即可得解.
解答: 解:设正方形EFGB的边长为a,则CE=4﹣a,AG=4+a,
阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF
=+a2+a(4﹣a)﹣a(4+a)
=4π+a2+2a﹣a2﹣2a﹣a2
=4π.
故答案为:4π.
点评: 本题考查了正方形的性质,整式的混合运算,扇形的面积计算,引入小正方形的边长这一中间量是解题的关键.
三、解答题(本大题共8个小题,满分46分)
19.(6分)(2013•烟台)先化简,再求值:,其中x满足x2+x﹣2=0.
考点: 分式的化简求值.
专题: 计算题.
分析: 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出x的值,把x的值代入进行计算即可.
解答: 解:原式=•
=•
=,
由x2+x﹣2=0,解得x1=﹣2,x2=1,
∵x≠1,
∴当x=﹣2时,原式==.
点评: 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
20.(6分)(2013•烟台)如图,一艘海上巡逻船在A地巡航,这时接到B地海上指挥中心紧急通知:在指挥中心北偏西60°方向的C地,有一艘渔船遇险,要求马上前去救援.此时C地位于北偏西30°方向上,A地位于B地北偏西75°方向上,A、B两地之间的距离为12海里.求A、C两地之间的距离(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,结果精确到0.1)
考点: 解直角三角形的应用-方向角问题.
分析: 过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D,根据题意可得∠ACB和∠ABC的度数,然后根据三角形外角定理求出∠DAB的度数,已知AB=12海里,可求出BD、AD的长度,在Rt△CBD中,解直角三角形求出CD的长度,继而可求出A、C之间的距离.
解答: 解:过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D,
由题意得,∠ACB=60°﹣30°=30°,
∠ABC=75°﹣60°=15°,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
在Rt△ABD中,AB=12,∠DAB=45°,
∴BD=AD=ABcos45°=6,
在Rt△CBD中,CD==6,
∴AC=6﹣6≈6.2(海里).
答:A、C两地之间的距离为6.2海里.
点评: 本题考查了解直角三角形的知识,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角函数的知识求解相关线段的长度,难度一般.