17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意可得，，所以．

（Ⅱ）记从高校B抽取的2人为，从高校C抽取的3人为，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有

共10种．

设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有共3种．因此．

故选中的2人都来自高校C的概率为．

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）如图，因为，所以为异面直线与所成的角．

因为平面，所以．

而，故．

即异面直线和所成的角的正切值为．

（Ⅱ）由平面，平面，得．①

由（Ⅰ）知，，又，所以，从而．②

又，再由①，②得平面．而平面，因此平面平面．

19．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为，则由知，点P在以A，B为焦点，长轴长为的椭圆上．此时短半轴长．

所以考察区域边界曲线（如图）的方程为．

（Ⅱ）易知过点的直线方程为．因此点A到直线的距离为

．

设经过年，点A恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得

．

解得，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上．

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）表4为

1 3 5 7

4 8 12

12 20

32

它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．

将这一结论推广到表，即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列．

简证如下（对考生不作要求）

首先，表的第1行1,3,5,…，2n-1是等差数列，其平均数为；

其次，若表的第行是等差数列，则它的第行也是等差数列．由等差数列的性质知，表的第行中的数的平均数与第行中的数的平均数分别是

．

21．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）的定义域为．

．

（1） 若，则当时，；当时，；

当时，．故分别在上单调递增，在上单调递减．

（2） 若，仿（1）可得分别在上单调递增，在上单调递减．

（Ⅱ）存在，使在上为减函数．

事实上，设，则

．

再设，则当在上单调递减时，必在上单调递减，所以．由于，因此．而，所以．此时，显然有在上为减函数，当且仅当在上为减函数，在上为减函数，且．

由（Ⅰ）知，当时，在上为减函数．①

又．②

不难知道，．

因，令，则，或．而，于是

（3） 当时，若，则；若，则．因而在上单调递增，在上单调递减．

（4） 当时，，在上单调递减．

综合（1）、（2）知，当时，在上的最大值为．

所以．③

又对只有当时在取得，亦即只有当时在取得．因此，当时，在上为减函数．从而由①，②，③知，．

综上所述，存在，使在上为减函数，且的取值范围为．

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