18.（本小题满分12分）

如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.

（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

【解析】

解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，

Ｅ是ＣＤ的中点，所以

所以

而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

（Ⅱ）过点Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE

所成的角，且.

由知，为直线与平面所成的角.

由题意，知

因为所以

由所以四边形是平行四边形，故于是

在中，所以

于是

又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知因为

所以而是平面内的两条相交直线，所以

(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与

所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得.

又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为

.

【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.

19.（本小题满分12分）

已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……

（1） 若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.

（2） 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.

【解析】

解（１）对任意,三个数是等差数列，所以

即亦即

故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是

（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有

由知，均大于０，于是

即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.

（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，

则

　　　，

于是得即

由有即，从而.

因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，

综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.

【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.

20.（本小题满分13分）

某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.

（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；

（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

【解析】

解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为

由题设有

期中均为1到200之间的正整数.

（Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为

易知，为减函数，为增函数.注意到

于是

（1）当时， 此时

，

由函数的单调性知，当时取得最小值，解得

.由于

.

故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为.

（2）当时， 由于为正整数，故，此时易知为增函数，则

.

由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于

此时完成订单任务的最短时间大于.

（3）当时， 由于为正整数，故，此时由函数的单调性知，

当时取得最小值，解得.类似（1）的讨论.此时

完成订单任务的最短时间为，大于.

综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数

分别为44,88,68.

【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.

21.（本小题满分13分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.

（Ⅰ）求曲线C1的方程；

（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为，由已知得

，

易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以

.

化简得曲线的方程为.

解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.

（Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆

相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是

整理得

①

设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故

②

由得 ③

设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以

④

同理可得

⑤

于是由②，④，⑤三式得

.

所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.

22.（本小题满分13分）

已知函数=，其中a≠0.

（1） 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.

（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，

故.

而令

当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当

　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，

令则

令，则.

当时，单调递减；当时，单调递增.

故当，即

从而，又

所以

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .

综上所述，存在使成立.且的取值范围为

.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.

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