20．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．

(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；

(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．

【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。

(Ⅰ)如图连接BD．

∵M，N分别为PB，PD的中点，

∴在PBD中，MN∥BD．

又MN平面ABCD，

∴MN∥平面ABCD；

(Ⅱ)如图建系：

A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，

N(，0，0)，C(，3，0)．

设Q(x，y，z)，则．

∵，∴．

由，得：． 即：．

对于平面AMN：设其法向量为．

∵．

则． ∴．

同理对于平面AMN得其法向量为．

记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，

则．

∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为．

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ．

21．(本小题满分15分)如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．

【解析】

(Ⅰ)由题：； (1)

左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)

由(1) (2)可解得：．

∴所求椭圆C的方程为：．

(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．

∵A，B在椭圆上，

∴．

设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，

代入椭圆：．

显然．

∴﹣＜m＜且m≠0．

由上又有：＝m，＝．

∴|AB|＝||＝＝．

∵点P(2，1)到直线l的距离为：．

∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，

当|m＋2|＝，即m＝﹣3 or m＝0(舍去)时，(SABP)max＝．

此时直线l的方程y＝﹣．

【答案】 (Ⅰ) ；(Ⅱ) y＝﹣．

21．(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．

(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，

(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；

(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；

(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．

【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。

(Ⅰ)

(ⅰ)．

当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，

此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；

当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，

此时的最大值为：

＝|2a－b|﹢a；

综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；

(ⅱ) 要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|2a－b|﹢a．

亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，

∵，∴令．

当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，

此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；

当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，

≤|2a－b|﹢a；

综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．

即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，

且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．

∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，

∴|2a－b|﹢a≤1．

取b为纵轴，a为横轴．

则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．

作图如下：

由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有．

∴所求a＋b的取值范围为：．

【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) ．

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