17. (本小题满分12分)

设Sn表示数列的前n项和.

(Ⅰ) 若为等差数列, 推导Sn的计算公式;

(Ⅱ) 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列.

17. 【答案】(Ⅰ) ;

(Ⅱ) 是首项,公比的等比数列。

【解析】(Ⅰ) 设公差为d,则

.

(Ⅱ) 。

.

所以,是首项,公比的等比数列。

18. (本小题满分12分)

如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;

(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.

18. 【答案】 (Ⅰ) ,见下.

(Ⅱ) 1

【解析】 (Ⅰ) 设.

.

.(证毕)

(Ⅱ) .

在正方形AB CD中,AO = 1 .

.

所以，.

19. (本小题满分12分)

有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:

(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.

19. 【答案】 (Ⅰ).

(Ⅱ)

【解析】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。

从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。

(Ⅱ) A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·

B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·

现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率.

所以，从A,B两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为.

20. (本小题满分13分)

已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

20. 【答案】 (Ⅰ)..(Ⅱ)

【解析】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则

.

所以，动点M的轨迹为 椭圆，方程为

(Ⅱ) P(0, 3), 设

椭圆经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。.联立椭圆和直线方程，整理得：

所以，直线m的斜率

21. (本小题满分14分)

已知函数.

(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.

(Ⅲ) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.

21. 【答案】(Ⅰ) y = x+ 1.

当m 时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m 有2个公共点；

(Ⅲ) >

(Ⅱ)【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数,则y=g(x)过点（1,0）的切线斜率k=.

.过点（1,0）的切线方程为：y = x+ 1

(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点，过程如下。

因此，

所以，曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕）

(Ⅲ) 设

令。

，且

。

所以

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