三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

在，已知，求角A，B，C的大小。

解：设

由得，所以

又因此

由得，于是

所以，，因此

，既

由A=知，所以，，从而

或，既或故

或。

17.（本小题满分12分）

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。

（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。

解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=

（1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=

(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。

所以P（=0）=P（=3）==，

P（=1）=P（=2）= =

P（=2）=P（=1）==

P（=3）=P（=0）= =

故的分布是

的数学期望E=0+1+2+3=2

解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，

i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互独立，且

P（）-（，）= P（）+P（）=+=

所以--,既，

故的分布列是

18.（本小题满分12分）

如图4，在正三棱柱中，

D是的中点，点E在上，且。

（I） 证明平面平面

（II） 求直线和平面所成角的正弦值。

解 （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面

又DE平面ABC，所以DEAA.

而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。

（2）解法1 如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD， ABDF

又CDDF=D，所以AB平面CDF，

而AB∥AB，所以

AB平面CDF，又AB平面ABC，故

平面AB C平面CDF。

过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。

连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。

由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=，

CF=，AD==，DH==—，

所以 sinHAD==。

即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。

解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设

A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是

A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。

易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）

设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有

解得x=-y， z=-，

故可取n=(1，-，)。

所以，(n·)===。

由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。

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