26．如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组同学打算运用所学知识测量侧面支架最高点E到地面距离EF．经测量，支架立柱BC与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5cm，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架边BE与AB夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m。请你求出该支架边BE及顶端E到地面距离EF长度。

【答案】解：过B作BH⊥EF于点H，

∴四边形BCFH为矩形，BC=HF=1.5m，∠HBA=∠AC=30°。

在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，BC=1.5m，∴AB=3m。

∵AD=1m，∴BD=2m。

在Rt△EDB中，∵∠EBD=60°，∴∠BED=90°－60°=30°。

∴EB=2BD=2×2=4m。

又∵∠HBA=∠BAC=30°，∴∠EBH=∠EBD－－∠HBD=30°，

∴EH=EB=2m。

∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m）。

答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m.

27． 阅读材料：如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=900，且点D 在AB边上，AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD。

解决问题：

（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O,上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）。

【答案】解：（1）相等。证明如下：

如图，连接CO、DO，

∵△ABC是等腰直角三角形，点O是AB的中点，

∴BO=CO，CO⊥AB。∴∠BOC=900。

同理，FO=DO，∠DOF=900。

∴∠BOF=900＋∠COF，∠COD=900＋∠COF。

∴∠BOF=∠COD。∴△BOF≌△COD（SAS）。

∴BF=CD。

（2）不成立。

如图，连接CO、DO，

∵△ABC是等边三角形，∴∠CBO=600。

∵点O是AB的中点，∴CO⊥AB，即∠BOC=900。

∴在Rt△BOC中，。

同理，∠DOF=900，。∴。

又∵∠BOF=900＋∠COF，∠COD=900＋∠COF。

∴∠BOF=∠COD。∴△BOF∽△COD。∴。

∴。

（3）。

28．如图①，若二次函数的图象与ｘ轴交于点A（－2,0）,B（3,0）两点，点A关于正比例函数的图象的对称点为C。

（1）求b、c的值；

（2）证明：点C 在所求的二次函数的图象上；

（3）如图②，过点B作DB⊥ｘ轴交正比例函数的图象于点D，连结AC，交正比例函数的图象于点E，连结AD、CD。如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一个到达终点时，另一个随之停止运动，连结PQ、QE、PE，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）∵二次函数的图象与ｘ轴交于点A（－2,0）,B（3,0）两点，

∴，解得。

∴。

（2）证明：由（1）得二次函数解析式为。

在正比例函数的图象上取一点F，作FH⊥x轴于点H，则

。∴。

连接AC交 的图象于点E，作CK x轴于点K，

∵点A关于的图象的对称点为C，

∴OE垂直平分AC。

∵，OA=2，

∴。

在Rt△ACK中，∵，

∴。∴。

∴点C 的坐标为。

将C 代入，左边=右边，

∴点C在所求的二次函数的图象上。

（3）∵DB⊥x轴交的图象于点D，B（3,0），

∴把x=3代入得，即BD=。

在Rt△ACK中，，

∵OE垂直平分AC，

∴，。

假设存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，

则。

∵， ∴。

又∵，∴。

又∵，∴△PAE∽△ECQ。∴，即。

整理，得，解得（不合题意，舍去）。

∴存在时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC。

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