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20．（2013聊城）小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了10次，如图是他们投标成绩的统计图．
（1）根据图中信息填写下表
（2）分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好．
考点：条形统计图；算术平均数；中位数；众数．
专题：计算题．
分析：（1）根据条形统计图找出小亮与小莹10次投中的环数，求出平均数，中位数，以及众数即可；
（2）根据两人的中位数相同，可得出谁的平均数高，谁的成绩好．
解答：解：（1）根据题意得：小亮的环数为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，
平均数为
（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7（环），中位数为7，众数为7；
小莹的环数为：3，4，6，9，5，7，8，9，9，10，
平均数为（3+4+6+9+5+7+8+9+9+10）=7（环），中位数为7.5，众数为9，
填表如下：
（2）平均数相等说明：两人整体水平相当，成绩一样好；小莹的中位数大说明：小莹的成绩比小亮好．．
点评：此题考查了条形统计图，以及表格，弄清题意是解本题的关键．
21．（2013聊城）夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？
考点：二元一次方程组的应用．
分析：先设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，列出方程组，求出解即可．
解答：解：设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据题意得：
，
解得：
．
答：调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元，这种果汁饮料每瓶的价格为4元．
点评：此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程再求解，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
22．（2013聊城）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：（1）根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG＞3，则看不见老鼠，若DG＜3，则可以看见老鼠；
（2）根据（1）求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据
=sin∠C=sin37°，即可求出CG的长度．
解答：解：（1）能看到；
由题意得，∠DFG=90°﹣53°=37°，
则
=tan∠DFG，
∵DF=4米，
∴DG=4×tan37°=4×0.75=3（米），
故能看到这只老鼠；
（2）由（1）得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米），
又=sin∠C=sin37°，
则CG=
=
=9.5（米）．
答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞9.5米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般．
23．（2013聊城）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y=
的图象在第二象限交与点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）求一次函数的解析式．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：探究型．
分析：（1）先根据点A的坐标为（2，0），B是AC的中点，B在y轴上，得出点C的横坐标为﹣2，再将x=﹣2代入y=，求出y=4，即可得到点C的坐标；
（2）设一次函数的解析式y=kx+b，将点A．点C的坐标代入，运用待定系数法即可求出一次函数的解析式．
解答：解：∵点A的坐标为（2，0），B是AC的中点，B在y轴上，
∴点A与点C的横坐标互为相反数，即点C的横坐标为﹣2，
∵点C在反比例函数y=
的图象上，
∴y=﹣
=4，
∴点C的坐标为（﹣2，4）；
（2）设一次函数的解析式y=kx+b．
∵点A（2，0），点C（﹣2，4）在直线y=kx+b上，
∴
，
解得
．
∴一次函数的解析式y=﹣x+2．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法确定函数的解析式，这是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．
24．（2013聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=
，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．
考点：切线的判定与性质；菱形的判定．
分析：（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；
（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．
解答：证明：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=
CD=×4
=2，
设OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=（x﹣2）2+（2）2，
解得：x=4，
∴OA=OC=4，OE=2，
∴AE=6，
在Rt△AED中，AD=
=4，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∴▱FADC是菱形；
（2）连接OF，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA=FC，
在△AFO和△CFO中，
，
∴△AFO≌△CFO（SSS），
∴∠FCO=∠FAO=90°，
即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．
点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
25．（2013聊城）已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．
（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；
（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y=48时代入解析式就可以求出其值；
（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值．
（3）由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值．
解答：解：（1）由题意，得
y=
=﹣
x2+10x，
当y=48时，﹣x2+10x=48，
解得：x1=12，x2=8，
∴面积为48时BC的长为12或8；
（2）∵y=﹣x2+10x，
∴y=﹣
（x﹣10）2+50，
∴当x=10时，y最大=50；
（3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下：由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10
过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，
连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′
则由对称性得：A′B′=A′B，AB′=AB，
∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C，
当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：△ABC的周长=AB+AC+BC=AB′+AC+BC＞B′C+BC，
当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时△ABC的周长=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC，
因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；
这时由作法可知：BB′=20，∴B′C=
=10
，∴△ABC的周长=10+10，
因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10+10．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是关键．
