21．（8分）（2013•湖州）为激励教师爱岗敬业，某市开展了“我最喜爱的老师”评选活动．某中学确定如下评选方案：有学生和教师代表对4名候选教师进行投票，每票选1名候选教师，每位候选教师得到的教师票数的5倍与学生票数的和作为该教师的总票数．以下是根据学生和教师代表投票结果绘制的统计表和条形统计图（不完整）．

学生投票结果统计表

（1）若共有25位教师代表参加投票，则李老师得到的教师票数是多少？请补全条形统计图．（画在答案卷相对应的图上）

（2）王老师与李老师得到的学生总票数是500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的3倍多20票，求王老师与李老师得到的学生票数分别是多少？

（3）在（1）、（2）的条件下，若总得票数较高的2名教师推选到市参评，你认为推选到市里的是两位老师？为什么？

考点： 二元一次方程组的应用；条形统计图．

分析： （1）根据共有25位教师代表参加投票，结合条形图得出李老师得到的教师票数即可；

（2）根据“王老师与李老师得到的学生总票数是500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的3倍多20票，”分别得出方程组求出即可；

（3）求出每位老师的得票总数，进而得出答案．

解答： 解：（1）李老师得到的教师票数是：25﹣（7+6+8）=4，

如图所示：

（2）设王老师与李老师得到的学生票数分别是x和y，

由题意得出：，

解得：，

答：王老师与李老师得到的学生票数分别是380和120；

（3）总得票数情况如下：王老师：380+5×7=415，赵老师：200+5×6=230，

李老师：120+5×4=140，陈老师：300+5×8=340，

推选到市里的是王老师和陈老师．

点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．

22．（10分）（2013•湖州）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．

（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是　140　元，小张应得的工资总额是　2800　元，此时，小李种植水果　10　亩，小李应得的报酬是　1500　元；

（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；

（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）根据图象数据解答即可；

（2）设z=kn+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；

（3）先求出20＜m≤30时y与m的函数关系式，再分①10＜m≤20时，10＜m≤20；②20＜m≤30时，0＜n≤10两种情况，根据总费用等于两人的费用之和列式整理即可得解．

解答： 解：（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是（160+120）=140元，

小张应得的工资总额是：140×20=2800元，

此时，小李种植水果：30﹣20=10亩，

小李应得的报酬是1500元；

故答案为：140；2800；10；1500；

（2）当10＜n≤30时，设z=kn+b（k≠0），

∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900），

∴，

解得，

所以，z=120n+300（10＜n≤30）；

（3）当10＜m≤30时，设y=km+b，

∵函数图象经过点（10，160），（30，120），

∴，

解得，

∴y=﹣2m+180，

∵m+n=30，

∴n=30﹣m，

∴①当10＜m≤20时，10＜m≤20，

w=m（﹣2m+180）+120n+300，

=m（﹣2m+180）+120（30﹣m）+300，

=﹣2m2+60m+3900，

②当20＜m≤30时，0＜n≤10，

w=m（﹣2m+180）+150n，

=m（﹣2m+180）+150（30﹣m），

=﹣2m2+30m+4500，

所以，w与m之间的函数关系式为w=．

点评： 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，（3）难点在于要分情况讨论并注意m、n的取值范围的对应关系，这也是本题最容易出错的地方．

23．（10分）（2013•湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：

如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．

（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．

（2）特殊位置，证明结论

若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．

（3）知识迁移，探索新知

若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）

考点： 全等三角形的判定与性质．

分析： （1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根据AAS证△BPO≌△PDE即可；

（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；

（3）设OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案．

解答： （1）证明：∵PB=PD，

∴∠2=∠PBD，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠C=45°，

∵BO⊥AC，

∴∠1=45°，

∴∠1=∠C=45°，

∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，

∴∠3=∠4，

∵BO⊥AC，DE⊥AC，

∴∠BOP=∠PED=90°，

在△BPO和△PDE中

∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，

∵BP平分∠ABO，

∴∠ABP=∠3，

∴∠ABP=∠4，

在△ABP和△CPD中

∴△ABP≌△CPD（AAS），

∴AP=CD．

（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．

理由是：设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，

则AP=2x+x=3x，

由（2）知BO=PE，

PE=2x，CE=2x﹣x=x，

∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，

∴DE=x，由勾股定理得：CD=x，

即AP=3x，CD=x，

∴CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力．

24．（12分）（2013•湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．

（1）若OA=10，求反比例函数解析式；

（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；

（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 反比例函数综合题．

分析： （1）先过点A作AH⊥OB，根据sin∠AOB=，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；

（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=，得出AH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6，

根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=6+a2，再根据点A，F都在y=的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=3，即可求出点C的坐标；

（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．

解答： 解：（1）过点A作AH⊥OB于H，

∵sin∠AOB=，OA=10，

∴AH=8，OH=6，

∴A点坐标为（6，8），根据题意得：

8=，可得：k=48，

∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；

（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，

∵sin∠AOB=，

∴AH=a，OH=a，

∴S△AOH=•aa=a2，

∵S△AOF=12，

∴S平行四边形AOBC=24，

∵F为BC的中点，

∴S△OBF=6，

∵BF=a，∠FBM=∠AOB，

∴FM=a，BM=a，

∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2，

∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，

∵点A，F都在y=的图象上，

∴S△AOH=k，

∴a2=6+a2，

∴a=，

∴OA=，

∴AH=，OH=2，

∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24，

∴OB=AC=3，

∴C（5，）；

（3）存在三种情况：

当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（，），P2（﹣，），

当∠PAO=90°时，P3（，），

当∠POA=90°时，P4（﹣，）．

点评： 此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（3）有三种情况，不要漏解．

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