二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）（2005•宁德）计算：=　1　．

考点： 分式的加减法．

专题： 计算题．

分析： 因为分式的分母相同，所以只要将分母不变，分子相加即可．

解答： 解：=．故答案为1．

点评： 此题比较容易，是简单的分式加法运算．

12．（4分）（2013•湖州）把15°30′化成度的形式，则15°30′=　15.5　度．

考点： 度分秒的换算．

分析： 根据度、分、秒之间的换算关系，先把30′化成度，即可求出答案．

解答： 解：∵30′=0.5度，

∴15°30′=15.5度；

故答案为：15.5．

点评： 此题考查了度分秒的换算，掌握1°=60′，1′=60″是解题的关键，是一道基础题．

13．（4分）（2013•湖州）如图，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB的值为　　．

考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理．

分析： 首先利用勾股定理求得BC的长，然后利用余弦函数的定义即可求解．

解答： 解：BC===5，

则cosB==．

点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

14．（4分）（2013•湖州）某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了20户家庭某月的用水量，结果如表，则这20户家庭这个月的平均用水量是　5.8　吨．

考点： 加权平均数．

分析： 根据加权平均数的计算方法先求出所有数据的和，然后除以数据的总个数即可．

解答： 解：根据题意得：

这20户家庭这个月的平均用水量是（4×3+5×8+6×4+8×5）÷20=5.8（吨）；

故答案为：5.8．

点评： 此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是求出所有数的和．

15．（4分）（2013•湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是　85　．

考点： 规律型：数字的变化类．

分析： 先根据第一行的第一列与第二列相差2，往后分别相差3，4，5，6，7，第二行的第一列与第二列相差3，往后分别相差4，5，6，7，第三行的第一列与第二列相差4，往后分别相差5，6，7，8，由此得出第七行的第一列与第二列分别相差8，往后分别相，9，10，11，12，13，从而求出答案．

解答： 解：第一行的第一列与第二列差个2，第二列与第三列差个3，第三列与第四列差个4，…第六列与第七列差个7，

第二行的第一列与第二列差个3，第二列与第三列差个4，第三列与第四列差个5，…第五列与第六列差个7，

第三行的第一列与第二列差个4，第二列与第三列差个5，第三列与第四列差个6，第四列与第五列差个7，

…

第七行的第一列与第二列差个8，是30，第二列与第三列差个9，是39，第三列与第四列差个10，是49，第四列与第五列差个11，是60，

第五列与第六列差个12，是72，第六列与第七列差个13，是85；

故答案为：85．

点评： 此题考查了数字的变化类，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关键是得到每行中前一列与后一列的关系．

16．（4分）（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　　．

考点： 一次函数综合题．

分析： （1）首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；

（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长．

解答： 解：由题意可知，OM=，点N在直线y=﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．

如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（起点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．

∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC=∠B0ABn，

又∵AB0=AO•tan30°，ABn=AN•tan30°，∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°，

∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，

∴B0Bn=ON•tan30°=×=．

现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．

如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi．

∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP=∠B0ABi，

又∵AB0=AO•tan30°，ABi=AP•tan30°，∴AB0：AO=ABi：AP，

∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi=∠AOP．

又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP，

∴∠AB0Bi=∠AB0Bn，

∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．

综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为．

故答案为：．

点评： 本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．

三、解答题（本题共8小题，共66分）

17．（6分）（2013•湖州）因式分解：mx2﹣my2．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

分析： 先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解答： 解：mx2﹣my2，

=m（x2﹣y2），

=m（x+y）（x﹣y）．

点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

18．（6分）（2013•湖州）解不等式组：．

考点： 解一元一次不等式组．

专题： 探究型．

分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

解答： 解：，由①得，x＞；由②得，x＜5，

故此不等式组的解集为：＜x＜5．

点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19．（6分）（2013•湖州）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线的顶点坐标．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．

分析： （1）根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接得出抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），再整理即可，

（2）根据抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，即可得出答案．

解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．

∴抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），

即y=﹣x2+2x+3，

（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．

点评： 此题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数的解析式的形式，关键是根据题意选择合适的解析式．

20．（8分）（2013•湖州）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．

（1）求BC的长；

（2）求证：PB是⊙O的切线．

考点： 切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理．

分析： （1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；

（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．

解答： （1）解：连接OB，

∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，

∴弧BC与弧AC的度数为：60°，

∴∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC=OC=2；

（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，

∴BC=CP，

∴∠CBP=∠CPB，

∵△OBC是等边三角形，

∴∠OBC=∠OCB=60°，

∴∠CBP=30°，

∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，

∴OB⊥BP，

∵点B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切线．

点评： 此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

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