三．解答题：本大题共小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）当时，求在区间上的取值范围；

（2）当时，，求的值．

【命题意图】本题考查了两角和与差的三角函数，三角恒等变换，研究三角函数的性质以及三角函数在闭区间上的最值问题，方程思想求参数的值．考查了考生综合运用三角函数知识的解题能力．

【参考答案】（本小题满分12分）

解：（1）当时，

又由得，所以，

从而．

（2）

由得，

，

所以，得．

【点评】三角函数的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性，它和代数、几何有着密切的联系，是研究其他部分知识的工具，在实际问题中也有着广泛的应用，因而是高考对基础知识和基本技能考查的重要内容之一．有关三角函数的试题，其解题特点往往是先进行三角恒等变形，再利用三角函数的图象和性质解题，是高考的热点．

18．（本小题满分12分）

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间．

（1）求的分布列；（2）求的数学期望．

【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了考生利用所学知识解决实际问题的能力．

【参考答案】（本小题满分12分）

解：（1）的所有可能取值为：1,3,4,6

，所以的分布列为：

（2）（小时）

【点评】求离散型随机变量分布列和期望时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率．求随机变量的分布列，关键是概率类型的确定与转化．概率题目特点是与实际生活密切相关，应立足基础知识和基本方法的复习，抓好变式训练，从不同角度，不同侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷，提高分析问题和解决实际问题的能力．

19．（本小题满分12分）

设函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在上的最大值为，求的值．

【命题意图】本题考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的最值问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力．

【点评】导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是对函数图象和性质的总结和拓展，是研究函数的单调性、极值、最值、讨论函数图象变化趋势的重要工具，利用导数可以解决现实生活中的最优化问题，由于其应用广泛性，已成为高考命题的重点和热点。以函数为背景，以导数为工具命题趋势，已成为高考的热点问题．

20．（本小题满分12分）

如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面BCD，．

（1）求点A到平面MBC的距离；

（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

【命题意图】本题主要考查了空间几何体的线面关系、点到面的距离的求解以及二面角大小计算等问题，考查了考生的空间想象能力以及计算能力．

【参考答案】（本小题满分12分）

解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，

则．

又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD，所以MO//AB，

MO//平面ABC．M，O到平面ABC的距离相等．

作OHBC于H，连MH，则MHBC．

求得，．

设点A到平面MBC的距离为，由得

．

即，解得．

（1）设是平面MBC的法向量，则．

由得；由得．

取．，则．

（2）．

设平面ACM的法向量为，由得解得，取．

又平面BCD的法向量为．所以．

设所求二面角为，则．

【点评】空间几何问题通常包括点、线、面的位置关系的判断与证明以及点、线、面之间的角度或长度求解等问题，一般可以通过辅助线的构造，结合点、线、面的相应概念、性质、定理判断与求解．纵观近几年的高考试题，立体几何的解答题在很大程度上扮演着直线与平面内容载体的角色，着重考查立体几何中的逻辑推理，多为中档题，通过这些题目考查考生掌握基础知识、逻辑推理能力、计算能力和空间想象能力．

21．（本小题满分12分）

设椭圆，抛物线．

（1）若经过的两个焦点，求的离心率；（2）设，又M、N为与不在轴上的两个交点，若得垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程．

【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程、、离心率、抛物线的标准方程及利用二者之间的位置关系，挖掘参数符合的条件等式，化简整理，从而求出方程．是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识分析推理直至解决问题的能力．

【参考答案】（本小题满分12分）

解：

（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，，可得，由，有，所以椭圆的离心率．

（2）由题设可知M，N关于轴对称，设，则由 的垂心为B，有，所以

……①

由于点在上，故有 ……②

【点评】解决此类问题时既要利用圆锥曲线的概念、性质，又要结合图形，利用平面几何三角形的重心，垂心的性质．一般考虑通过尽量多地消去未知数，简化已知条件来解决问题．

22．（本小题满分14分）

证明以下命题：

（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；

（2）存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列．

【命题意图】本题考查了等差数列的性质，考查了考生灵活运用所学知识解决问题的能力．是一道值得推敲的好题．

【参考答案】（本小题满分14分）

证明：

（1）易知成等差数列，则也成等差数列，所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列．

（2）若成等差数列，则有，

即 ……①

选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于

因此令，可得

易验证满足①，因此成等差数列，

当时，有且

因此以为边长可以构成三角形，将此三角形记为．

其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：

据此例性质有：

所以，由此可得，与假设矛盾，即任两个三角形与互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且以成等差数列．

【点评】求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后在微观上要明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性．数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳、猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出．而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视，因此，在平时要加强对能力的培养．

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