17.（本小题满分12分）

设椭圆: 过点（0，4），离心率为．

（1）求的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被所截线段的中点坐标．

【分析】（1）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解．

【解】（1）将点（0，4）代入的方程得, ∴b=4,

又 得，即， ∴

∴的方程为

（2）过点且斜率为的直线方程为，

设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得

，即，解得，，

AB的中点坐标，，

即所截线段的中点坐标为．

注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．

18.（本小题满分12分）

叙述并证明余弦定理。

【分析】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固．

【解】叙述：

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

，

，

.

证明：（证法一） 如图，

即

同理可证 ，

（证法二） 已知中，所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，

∴

，

即

同理可证 ，

19.（本小题满分12分）

如图，从点做x轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：记点的坐标为.

（Ⅰ）试求与的关系

（ Ⅱ）求．

【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与轴的交点坐标；（2）尝试求出通项的表达式，然后再求和．

【解】（Ⅰ）设，由得点处切线方程为

由得。

（ Ⅱ），得，

20.（本小题满分13分）

如图，A地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

（2 ）分别求通过路径和所用时间落在上表中各时间段内的频率；

（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

【分析】（1）读懂数表，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（2）根据频率的计算公式计算；（3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径．

【解】（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，

用频率估计相应的概率为0.44.

（2 ）选择的有60人，选择的有40人，

故由调查结果得频率为：

（3）用，分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站；用，分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站．

由（2）知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1) P(A2)，

甲应选择路径；

P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B2）＞P（B1），

∴ 乙应选择路径L2.

21.（本小题满分14分）

设，．

（1）求的单调区间和最小值；

（2）讨论与的大小关系；

（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．

【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．

【解】（1）由题设知，

∴令0得=1，

当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。

当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，

因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，

所以的最小值为

(2)

设，则，

当时，，即，

当时，，

因此，在内单调递减，

当时，

即

（3）由（1）知的最小值为1，所以，

，对任意，成立

即从而得。

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