三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）求的值；

（2）设，，，求的值．

16．解：（1）

（2），即

，即

∵，

∴，

∴

17．（本小题满分13分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．

17．解：（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得

所以乙厂生产的产品数量为35件

（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品

由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为（件）

（3）可能的取值为0，1，2

∴的分布列为：

∴

18．（本小题满分13分）

如图5，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，

分别是的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

18．（1）证明：取的中点，连接

∵，∴

∵在边长为1的菱形中，

∴△是等边三角形

∴，

∴平面

∴

∵分别是的中点

∴∥，∥

∴，，

∴平面

（2）解：由（1）知，

∴是二面角的平面角

易求得

∴

∴二面角的余弦值为

19．（本小题满分14分）

设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切．

（1）求的圆心轨迹的方程；

（2）已知点，，且为上动点，求的最大值及此时点的坐标．

19．解：（1）设，圆的半径为，

则

∴的圆心轨迹是以为焦点的双曲线，，，

∴的圆心轨迹的方程为

（2）

∴的最大值为2，此时在的延长线上，

如图所示，必在的右支上，且，

直线的斜率

∵，∴，

∴的最大值为2，此时为

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