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三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）（2007•辽宁）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [500，900） [900，1100） [1100，1300） [1300，1500） [1500，1700） [1700，1900） [1900，+∞）
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
（1）将各组的频率填入表中；
（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管2支，若将上述频率作为概率，试求恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．
【考点】 频率分布表．
【专题】 计算题．
【分析】 （1）由频率=
，可得出各组的频率；
（2）要计算灯管使用寿命不足1500小时的频率，即计算前四个小组的频率之和；
（3）恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时即1支灯管使用寿命不足1500小时，另一支灯管使用寿命超过1500小时，分为两种情形，最后求出它们的和即可．
【解答】 解：（I）
分组 [500，900） [900，1100） [1100，1300） [1300，1500） [1500，1700） [1700，1900） [1900，+∞）
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
（4分）
（II）由（I）可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6．（8分）
（III）由（II）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率P1=0.6，另一支灯管使用寿命超过1500小时的概率P2=1﹣P1=1﹣0.6=0.4，则这两支灯管中恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是P1P2+P2P1=2×0.6×0.4=0.48．所以有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.48．（12分）
【点评】 本题主要考查频率分布表的计算和频数分布直方图的应用以及概率的求法，属于基础题．
18．（12分）（2007•辽宁）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M﹣DE﹣A为30°．
（I）证明：A1B1⊥C1D；
（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．
【考点】 与二面角有关的立体几何综合题；棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．
【专题】 计算题；证明题．
【分析】 （I）连接CD，根据三垂线定理可得AB⊥C1D，而A1B1平行AB，从而A1B1⊥C1D；
（II）过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF，根据定义可知∠MFA为二面角M﹣DE﹣A的平面角，在Rt△GAF中，∠GFA=30°，求出A到平面MDE的距离，再根据线面平行可知C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等．
【解答】 解：（I）证明：连接CD，
三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴CD为C1D在平面ABC内的射影．∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴AB⊥CD，∴AB⊥C1D∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D
（II）解：过点A作CE的平行线，
交ED的延长线于F，连接MF∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC
又∵AF∥CE，CE⊥AC∴AF⊥DE∵MA⊥平面ABC，∴AF为MF在平面ABC内的射影
∴MF⊥DE∴∠MFA为二面角M﹣DE﹣A的平面角，∠MFA=30°
在Rt△MAF中，
，∠MFA=30°，∴
作AG⊥MF，垂足为G，∵MF⊥DE，AF⊥DE，∴DE⊥平面AMF，∵平面MDE⊥平面AMF，∴AG⊥平面MDE
在Rt△GAF中，∠GFA=30°，
，∴
，即A到平面MDE的距离为
∵CA∥DE，∴CA∥平面MDE，∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为．
【点评】 本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题．
19．（12分）（2007•辽宁）已知函数
（其中ω＞0）
（I）求函数f（x）的值域；
（II）若函数y=f（x）的图象与直线y=﹣1的两个相邻交点间的距离为
，求函数y=f（x）的单调增区间．
【考点】 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．
【专题】 计算题．
【分析】 （I）利用两角和与差的正弦函数、二倍角公式化简不等式，然后利用两角和化简函数为
，解好正弦函数的有界性，求函数f（x）的值域；
（II）利用函数y=f（x）的图象与直线y=﹣1的两个相邻交点间的距离为，求出周期，求出ω，利用正弦函数的单调增区间，求函出数y=f（x）的单调增区间．
【解答】 解：（I）解：
=
=．
【点评】 本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力，常考题．
20．（12分）（2007•辽宁）已知数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=1，且
（n≥2）
（I）令cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式；
（II）求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn．
【考点】 数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和．
【专题】 计算题．
【分析】 （I）根据题意可求得cn=cn﹣1+2，进而根据等差数列的定义可推断出{cn}是首项为a1+b1=3，公差为2的等差数列，进而求得其通项公式．
（II）令dn=an﹣bn，则可知
进而推断出{dn}是首项为a1﹣b1=1，公比为
的等比数列，则其通项公式可求，进而根据an﹣bn和an+bn的表达式，联立方程求得an，进而根据等差数列和等比数列的求和公式求得答案．
【解答】 解：（I）由题设得an+bn=（an﹣1+bn﹣1）+2（n≥2），即cn=cn﹣1+2（n≥2）
易知{cn}是首项为a1+b1=3，公差为2的等差数列，通项公式为cn=2n+1
（II）解：由题设得
，令dn=an﹣bn，则
、
易知{dn}是首项为a1﹣b1=1，公比为
的等比数列，通项公式为
由
解得
，
求和得
【点评】 本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力．
21．（14分）（2007•辽宁）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设圆M的方程为（x﹣4﹣7cosθ）2+（y﹣7cosθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求
的最大值和最小值．
【考点】 圆的标准方程；平面向量数量积的运算；圆的切线方程．
【专题】 计算题；综合题；压轴题；函数思想．
【分析】 （Ⅰ）设出A、B的坐标（正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上），根据△ABO边长相等，求出A、B点的坐标，再求圆心和半径，进而求可得圆C的方程；
（Ⅱ）设出∠ECF=2α，表示出数量积，数量积中有cosα，
，确定|PC|的范围，可求出数量积的最值．
【解答】 解：（Ⅰ）解法一：设A，B两点坐标分别为
，
，
由题设知
解得y12=y22=12，
所以
，
或
，
．
设圆心C的坐标为（r，0），则
，
所以圆C的方程为（x﹣4）2+y2=16．
解法二：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知x12+y12=x22+y22
又因为y12=2x1，y22=2x2，可得x12+2x1=x22+2x2．即（x1﹣x2）（x1+x2+2）=0
由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上
设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为
，于是有
，
解得r=4，
所以圆C的方程为（x﹣4）2+y2=16．
（Ⅱ）解：设∠ECF=2α，则
．
在Rt△PCE中，
，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|﹣1=7﹣1=6，
所以
，由此可得
．
则
的最大值为
，最小值为﹣8．
【点评】 本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．
22．（12分）（2007•辽宁）已知函数f（x）=x3﹣9x2cosα+48xcosβ+18sin2α，g（x）=f'（x），且对任意的实数t均有g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若对任意的m∈[﹣26，6]，恒有f（x）≥x2﹣mx﹣11，求x的取值范围．
【考点】 函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．
【专题】 压轴题．
【分析】 （1）先求出f'（x），即g（x），它是关于x的二次函数，对任意的实数t均有g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0
可先求出1+cost和3+sint的范围，转化为g（x）在某些区间上恒成立，结合二次函数的图象确定g（x）应满足的条件．
（2）由题意对任意的m∈[﹣26，6]恒成立，只要把式子看成关于m的不等式恒成立即可．
【解答】 解：（1）g（x）=f'（x）=3x2﹣18xcosα+48cosβ
对任意的实数t，1+cost∈[0，2]，3+sint∈[2，4]．
对任意的实数t有g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0
即对任意的实数x∈[0，2]有g（x）≥0，x∈[2，4]时有g（x）≤0
∴
即
，解得
所以f（x）=x3﹣9x2+24x
（2）令g（m）=f（x）﹣x2+mx+11=xm+x3﹣10x2+24x+11
由题意只要
即
，解得
【点评】 本题考查待定系数法求解析式、不等式恒成立问题，综合性强，难度较大．
