三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；

（Ⅱ）求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。

[解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么

1-P（C）=1-P= ，解得P=………………………………6 分

（2）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为

事件D,

那么P(D)=

答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为. ………………12分.

[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.

18、(本小题满分12分) 已知函数。

（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；

（Ⅱ）若，求的值。

[解析]（1）由已知，f（x）=

所以f（x）的最小正周期为2，值域为。…………………6分

（2）由（1）知，f（）=

所以cos（）。

所以

，…………………12分

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.

19、(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。

（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角的大小。

[解析]（1）连接OC. 由已知，所成的角

设AB的中点为D，连接PD、CD.

因为AB=BC=CA,所以CDAB.

因为等边三角形，

不妨设PA=2，则OD=1，OP=, AB=4.

所以CD=2，OC=.

在Rttan.…………………………6分

（2）过D作DE于E，连接CE.

由已知可得，CD平面PAB.

据三垂线定理可知，CE⊥PA，

所以，.

由（1）知，DE=

在Rt△CDE中，tan

故 …………………………………12分

[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）.

20、(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？

[解析]取n=1,得

若a1=0,则s1=0, 当n

若a1, 当n

上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列

综上，若a1 = 0,

若a1 …………………………………………7分

（2）当a1>0,且

所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）

则 b1>b2>b3>…>b6=

当n≥7时，bn≤b7=

故数列{lg}的前6项的和最大. …………………………12分

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

21、(本小题满分12分) 如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。

（Ⅰ）求轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。

[解析]（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在。

于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为，MB的斜率为.

由题意，有·=4

化简可得，4x2-y2-4=0

故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分

（2）由消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)

对于方程(﹡)，其判别式=（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0

而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1.

结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1

设Q、R的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根.

因为,所以，

所以。

此时

所以

所以

综上所述， …………………………12分

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。

22、(本小题满分14分) 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。

（Ⅰ）用和表示；

（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；

（Ⅲ）当时，比较与

的大小，并说明理由。

[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为，对

则抛物线在点A处的切线方程为：

………………4分

（2）由（1）知f(n)=,则

即知，对于所有的n成立，

特别地，当n=1时，得到a≥3

当a=3，n≥1时，

当n=0时，=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.

所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分

（3）由（1）知f(k)=

下面证明：

首先证明0<x<1时，

设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1, 则.

当时,g'(x)<0; 当

故g（x）在区间（0，1）上的最小值

所以，当0<x<1时，g（x）>0,即得

由0<a<1知

[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。

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