19.（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点。

（1） 求三棱锥A-MCC1的体积；

（2） 当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC。

【解析】（1）又长方体AD平面.点A到平面的距离AD=1，

∴==×2×1=1 ，∴

(2)将侧面绕逆时针转动90°展开，与侧面共面。当，M,C共线时，

+MC取得最小值AD=CD=1 ,=2得M为的中点连接M在中，=MC=，=2,

∴=+ , ∴∠=90°,CM⊥,

∵⊥平面，∴⊥CM ∵AM∩MC=C

∴CM⊥平面,同理可证⊥AM ∴⊥平面MAC

【答案】

【考点定位】本题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系以及体积等基本知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想。

20. （本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48°

（5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。、

21.（本小题满分12分）

如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。

（1） 求抛物线E的方程；

（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

【解析】

（1）依题意,设点B（x，y），则x=·=

Y=·=12 ，∴B（，12）在抛物线上，∴=2p×12，∴p=2，

抛物线E的方程为=4y

（2）设点P（,）, ≠0. ∵Y=,,

切线方程：y-=，即y=

由 ∴Q（，-1）

设M（0，）∴，∵·=0

--++=0，又，∴联立解得=1

故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M（0，1）

【答案】

【考点定位】 本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基本指导，考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想。

22.（本小题满分14分）

已知函数且在上的最大值为，

（1）求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

由（1）知f（x）=，f（0）=-<0，f（）=>0，

∴f（x）在[0, ]上至少有一个零点，又由（1）知f（x）在[0, ]上单调递增，

故在[0, ]上只有一个零点，当时，令g（x）==，

，g（x）在上连续，∴，g（m）=0

<0，∴g（x）在上递减，当时，

g(x)>g（m）=0，

>0，f（x）递增，∴当m（，m）时，f（x）≥f（）=>0

∴f（x）在（m，π）上递增，∵f（m）>0 ，f（π）<0,

∴f（x）在（m，π）上只有一个零点，综上f（x）在（0，π）上有两个零点，

【答案】（1）f（x）=；（2）2个零点

【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想。

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