20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
已知.
(1)若,求的取值范围;
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,,求函数()的反函数.
【答案与解析】
【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想,熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键,属于中档题.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里处,如图,现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
【答案与解析】
【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识.选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键,属于中档题.考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力.属于中档偏上题目,也是近几年高考的热点问题.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分
在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)设是的左焦点,是右支上一点,若,求点的坐标;
(2)过的左焦点作的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;
(3)设斜率为()的直线交于、两点,若与圆相切,求证:⊥.
【答案与解析】
【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲线,它的离心率为,它的渐近线为,并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省解题时间,本题属于中档题 .
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分
对于项数为的有穷数列,记(),即为中的最大值,并称数列是的控制数列,如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;
(2)设是的控制数列,满足(为常数,),求证:();
(3)设,常数,若,是的控制数列,求.
【答案与解析】
【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识,本题属于信息给予题,通过定义“控制”数列,考查考生分析探究及推理论证的能力.综合考查数列的基本运算,数列问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视.