二、选择题
15.设常数,集合,若,则的取值范围为( )
(A) (B) (C) (D)
【解答】集合A讨论后利用数轴可知,或,解答选项为B.
16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的()
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
【解答】根据等价命题,便宜Þ没好货,等价于,好货Þ不便宜,故选B.
17.在数列中,,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,()则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )
(A)18 (B)28 (C)48 (D)63
【解答】,而,故不同数值个数为18个,选A.
18.在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足( ).
(A) (B) (C) (D)
【解答】作图知,只有,其余均有,故选D.
三、解答题
19.(本题满分12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.
【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故,
故ABC1D1为平行四边形,故,显然B不在平面D1AC上,于是直线BC1平行于平面DA1C;直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为
考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得
而中,,故
所以,,即直线BC1到平面D1AC的距离为.
20.(6分+8分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得利润是元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
【解答】(1)根据题意,
又,可解得
(2)设利润为元,则
故时,元.
21.(6分+8分)已知函数,其中常数;
(1)若在上单调递增,求的取值范围;
(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.
【解答】(1)因为,根据题意有
(2) ,
或,
即的零点相离间隔依次为和,
故若在上至少含有30个零点,则的最小值为.