2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文)(北京卷)参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
9., 10. 11.,
12. 13. 14.
三、解答题(共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤)
15.(本小题共13分)
解:(1)
所以,最小正周期
当(),即()时
(2)因为
所以
因为,所以
所以,即
16.(本小题共13分)
解:(1)因为要停留2天,所以应该在3月1日至13日中的某天到达,共有13种选择,其间重度污染的有两天,
所以概率为
(2)此人停留的两天共有13种选择,分别是:,,,,,,,,,,,,
其中只有一天重度污染的为,,,,共4种,
所以概率为
(3)因为第5,6,7三天的空气质量指数波动最大,所以方差最大。
17.(本小题共14分)
证明:(1)因为,平面底面且平面底面
所以底面
(2)因为和分别是和的中点,所以,
而平面,平面,所以平面
(3)因为底面, 平面
所以,即
因为,,所以
而平面,平面,且
所以平面
因为,所以,所以四边形是平行四边形,
所以,而平面,平面
所以平面,同理平面,
而平面,平面且
所以平面平面, 所以平面
又因为平面
所以平面平面
18.(本小题共13分)
解:(1)
因为曲线在点处的切线为
所以,即,解得
(2)因为
所以当时,单调递增
当时,单调递减
所以当时,取得最小值,
所以的取值范围是
19.(本小题共14分)
解:(1)线段的垂直平分线为,
因为四边形为菱形,
所以直线与椭圆的交点即为,两点
对椭圆,令得
所以
(2)方法一:当点不是的顶点时,
联立方程得
设,,
则,,
若四边形为菱形,则,即
所以
即
因为点不是的顶点,所以,
所以
即,即
所以
此时,直线与轴垂直,所以为椭圆的上顶点或下顶点,与已知矛盾,
所以四边形不可能为菱形
方法二:
因为四边形为菱形,所以,
设()
则,两点为圆与椭圆的交点
联立方程得
所以,两点的横坐标相等或互为相反数。
因为点在上
若,两点的横坐标相等,点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。
若,两点的横坐标互为相反数,点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。
所以四边形不可能为菱形。
20.(本小题共13分)
解:(1),,
(2)因为,,,()是公比大于的等比数列,且
所以
所以当时,
所以当时,
所以,,,是等比数列。
(3)若,,,是公差大于的等差数列,则
,,,应是递增数列,证明如下:
设是第一个使得的项,则
,,所以,与已知矛盾。
所以,,,,是递增数列
再证明数列中最小项,否则(),则
显然,否则,与矛盾
因而,此时考虑,矛盾
因此是数列中最小项
综上,()
于是,也即,,,是等差数列