21.（1）双曲线C的渐近线

直线l的方程………………..6分

直线l与m的距离……….8分

（2）设过原点且平行与l的直线

则直线l与b的距离

当

又双曲线C的渐近线为

双曲线C的右支在直线b的右下方，

双曲线右支上的任意点到直线的距离为。

故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。

[ 证法二] 双曲线的右支上存在点到直线的距离为，

则

由（1）得，

设

当，0………………………………..13分

将 代入（2）得 （*）

方程（*）不存在正根，即假设不成立

故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为…………….16分

22（1）解，函数的反函数是

而其反函数为

故函数不满足“1和性质”

（2）设函数满足“2和性质”，

…….6分

而得反函数………….8分

由“2和性质”定义可知=对恒成立

即所求一次函数为………..10分

（3）设，，且点在图像上，则在函数图象上，

故，可得， 　　．．．．．．12分

，

令，则。，即。　　　　．．．．．．14分

综上所述，，此时，其反函数就是，

而，故与互为反函数 。 ．．．．．．16分

23．[解法一]（1）由，得， ．．．．．．2分

整理后，可得，、，为整数，

不存在、，使等式成立。 ．．．．．．5分

（2）若，即， （*）

（ⅰ）若则。

当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。 ．．．．．．7分

（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。

综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分

【解法二】设

则

（i）若d=0，则

（ii）若（常数）即，则d=0，矛盾

综上所述，有， 10分

（3）

设.

，

. 13分

取 15分

由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,

故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.

说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）

若p为偶数，则am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数

故此等式不成立，所以，p一定为奇数。

当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，

而3k=(4-1)k

=

当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1分

当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,

也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1

由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分

当p=5时，则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk

也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在

故不是所有奇数都成立. 2分

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