22.（本题满分11分）

如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形.现将小长方形绕点顺时针旋转至,旋转角为.

（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；

（2）如图2，为的中点，且0°＜＜90°，求证：；

（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.

答案：(1) ∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α. ∴sinα=,∴α=30°

(2) ∵G为BC中点，∴GC=CE′=CE=1，

∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α, ∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α,

∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD, ∴△GCD′≌△E′CD, ∴GD′=E′D

(3) 能. α=135°或α=315°

考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定

点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，通过操作、观察、计算、猜想等获得结论.此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力．

23.（本题满分12分）

为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△内修建矩形水池，使顶点在斜边上，分别在直角边上；又分别以为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中，.设米，米.

（1）求与之间的函数解析式；

（2）当为何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当为何值时，矩形的面积等于两弯新月面积的？

答案：（1）在Rt△ABC中，由题意得AC=米，BC=36米，∠ABC=30°,

所以

又AD+DE+BE=AB,

所以（0＜x＜8）.

(2)矩形DEFG的面积

所以当x=9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为平方米.

（3）记AC为直径的半圆\、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则

由AC2+BC2=AB2可知S1+S2=S3，∴S1+S2-S=S3-S△ABC ,故S=S△ABC

所以两弯新月的面积S=(平方米)

由， 即,解得，符合题意，

所以当米时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的.

考点：考查了解直角三角形，二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。

点评：本题是二次函数的实际问题。解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学模型，并综合应用其相关性质加以解答．

24.（本题满分13分）

如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线平分四边形的面积，求的值.

（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),

由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,

又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.

（2）由（1）知，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,

令kx-2=1.5,得l与CD的交点F()，

令kx-2=0，得l与x轴的交点E()，

根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE,

即：

（3）由（1）知

所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为

假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1,

所以,………………(1)

不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上，

则（1）式变为,又yM =k xM-2, yN=k xN-2,

所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,……(2)

把y=kx-2(k≠0)代入中，整理得x2+2kx-4=0,

所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得t=2,符合条件，

故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.

考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.

点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。

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