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20．（8分）（2013• 德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．
（1）求AD的长；
（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
考点： 切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质．
专题： 计算题．
分析： （1）连接BD，由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角，由BCOE为平行四边形，得到BC与OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可；
（2）连接OB，由BC与OD平行，BC=OD，得到四边形BCDO为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线．
解答： 解：（1）连接BD，则∠DBE=90°，
∵四边形BCOE为平行四边形，
∴BC∥OE，BC=OE=1，
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC=AD=1，
则AD=2；
（2）连接OB，
∵BC∥OD，BC=OD，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∵AD为圆O的切线，
∴OD⊥AD，
∴四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
则BC为圆O的切线．
点评： 此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
21．（10分）（2013• 德州）某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．
（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？
考点： 反比例函数的应用；分式方程的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）利用“每天的工作量×天数=土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系；
（2）根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可；
解答： 解：（1）由题意得，y=
把y=120代入y=，得x=3
把y=180代入y=，得x=2，
∴自变量的取值范围为：2≤x≤3，
∴y=（2≤x≤3）；
（2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3，
根据题意得：
解得：x=2.5或x=﹣3
经检验x=2.5或x=﹣3均为原方程的根，但x=﹣3不符合题意，故舍去，
答：原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．
点评： 本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
22．（10分）（2013• 德州）设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）
表1
1 | 2 | 3 | ﹣7 |
﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 |
（2）数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值
表2．
a | a2﹣1 | ﹣a | ﹣a2 |
2﹣a | 1﹣a2 | a﹣2 | a2 |
考点： 一元一次不等式组的应用．
分析： （1）根据某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变改行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”，先改变表1的第4列，再改变第2行即可；
（2）根据每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1，然后分别根据如果操作第三列或第一行，根据每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案．
解答： 解：（1）根据题意得：
改变第4列
改变第2行
（2）∵每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1，
则①如果操作第三列，
则第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，
，
解得：≤a
，
又∵a为整数，
∴a=1或a=2，
②如果操作第一行，
则每一列之和分别为2﹣2a，2﹣2a2，2a﹣2，2a2，
，
解得a=1，
此时2﹣2a2，=0，2a2=2，
综上可知：a=1．
点评： 此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，根据题目中的操作要求，列出不等式组，注意a为整数．
23．（10分）（2013• 德州）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．
考点： 四边形综合题．
专题： 计算题．
分析： （1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，如图所示，由三角形ABD与三角形ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）BE=CD，理由与（1）同理；
（3）根据（1）、（2）的经验，过A作等腰直角三角形ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到三角形DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长．
解答： 解：（1）完成图形，如图所示：
证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（2）BE=CD，理由同（1），
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，
则AD=AB=100米，∠ABD=45°，
∴BD=100
米，
连接CD，则由（2）可得BE=CD，
∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，
根据勾股定理得：CD=
=100
米，
则BE=CD=100米．
点评： 此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．（12分）（2013• 德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；
（2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∠CEF=90°时，当∠CFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标；
②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论．
解答： 解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO=
=3，
∴OB=3OA=3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=3，OD=OA=1，
∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．
代入解析式为
，
解得：
．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∴对称轴l=﹣
=﹣1，
∴E点的坐标为（﹣1，0）．
如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；
当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．
∴
，
∴MP=3EM．
∵P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵P在二象限，
∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，
∴﹣t2﹣2t+3=3（﹣1﹣t），
解得：t1=﹣2，t2=﹣3（与C重合，舍去），
∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．
∴P（﹣2，3）．
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：
，
∴直线CD的解析式为：y=x+1．
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t， t+1），
∴NM=t+1．
∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣
+2．
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，
∴S△PCD=PM•CM+PN•OM
=PN（CM+OM）
=PN•OC
=×3（﹣t2﹣
+2）
=﹣（t+）2+
，
∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为
．
点评： 本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求最大值是难点．
