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19．（本小题共l2分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．
（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；
本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力．
解法一：
（Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O，连结OD，
∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，
∴OD∥PB1，又ODÌ面BDA1，PB1Ë面BDA1，
∴PB1∥平面BDA1．
（Ⅱ）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A，
∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂线定理可知BE⊥DA1．
∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．
在Rt△A1C1D中，
，
又
，∴
．
在Rt△BAE中，
，∴
．
故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为
．
解法二：
如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则
，
，
，
，
．
（Ⅰ）在△PAA1中有
，即
．
∴
，
，
．
设平面BA1D的一个法向量为
，
则
令
，则
．
∵
，
∴PB1∥平面BA1D，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一个法向量．
又
为平面AA1D的一个法向量．∴
．
故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为．
20．（本小题共12分）
已知
是以a为首项，q为公比的等比数列，
为它的前n项和．
（Ⅰ）当
、
、
成等差数列时，求q的值；
（Ⅱ）当
、、
成等差数列时，求证：对任意自然数k，
、
、
也成等差数列．
本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．
解：（Ⅰ）由已知，
，因此
，
，
．
当、、成等差数列时，
，可得
．
化简得
．解得
．
（Ⅱ）若
，则的每项
，此时、、显然成等差数列．
若
，由、、成等差数列可得
，即
．
整理得
．因此，
．
所以，、、也成等差数列．
21．（本小题共l2分）
过点C(0，1)的椭圆
的离心率为
，椭圆与x轴交于两点
、
，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．
（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：
为定值．
本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．
解：（Ⅰ）由已知得
，解得
，所以椭圆方程为
．
椭圆的右焦点为
，此时直线
的方程为 
，代入椭圆方程得
，解得
，代入直线的方程得 
，所以
，
故
．
（Ⅱ）当直线与
轴垂直时与题意不符．
设直线的方程为
．代入椭圆方程得
．
解得
，代入直线的方程得
，
所以D点的坐标为
．
又直线AC的方程为
，又直线BD的方程为
，联立得
因此
，又
．
所以
．
故为定值．
22．（本小题共l4分）
已知
函数
，
．
（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；
（Ⅱ）设
，解关于x的方程
；
（Ⅲ）设
，证明：
．
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．
解：（Ⅰ）
，
．
令
，得
（
舍去）．
当
时．
；当
时，
，
故当
时，
为增函数；当
时，为减函数．
为的极大值点，且
．
（Ⅱ）方法一：原方程可化为
，
即为
，且
①当
时，
，则
，即
，
，此时
，∵，
此时方程仅有一解
．
②当
时，
，由，得，
，
若
，则
，方程有两解
；
若
时，则
，方程有一解
；
若
或
，原方程无解．
方法二：原方程可化为
，
即
，
①当时，原方程有一解；
②当时，原方程有二解；
③当时，原方程有一解；
④当或时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得
，
．
设数列的前n项和为，且
（）
从而有
，当
时，
．
又
．
即对任意
时，有
，又因为
，所以
．
则
，故原不等式成立．
