19、(本小题满分12分)

如图，在三棱锥中，，，，平面平面。

（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；

（Ⅱ）求二面角的大小。

[解析]（1）连接OC。由已知，所成的角

设AB的中点为D，连接PD、CD.

因为AB=BC=CA,所以CDAB.

因为等边三角形，

不妨设PA=2，则OD=1，OP=,AB=4.

所以CD=2，OC=.

在Rttan.

故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan…………………6分

（2）过D作DE于E，连接CE.

由已知可得，CD平面PAB.

根据三垂线定理可知，CE⊥PA，

所以，.

由（1）知，DE=

在Rt△CDE中，tan

故……………………………12分

[点评]本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力.

20、(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。

[解析]取n=1,得 ①

取n=2,得 ②

又②-①，得 ③

（1）若a2=0, 由①知a1=0,

(2)若a2, ④

由①④得：…………………5分

（2）当a1>0时,由（I）知，

当 , (2+)an-1=S2+Sn-1

所以，an=

所以

令

所以，数列{bn}是以为公差，且单调递减的等差数列.

则 b1>b2>b3>…>b7=

当n≥8时，bn≤b8=

所以，n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为

T7=…………………………12分

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

21、(本小题满分12分) 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。

（Ⅰ）求轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。

[解析]（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,.

当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3）

当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,

有tan∠MBA=,即

化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）

综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）…………………5分

(II)由方程消去y，可得。（*）

由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设

所以

解得，m>1,且m2

设Q、R的坐标分别为，由有

所以

由m>1，且m2，有

所以的取值范围是................................................ 12分

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。

22、(本小题满分14分)

已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。

（Ⅰ）用和表示；

（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；

（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。

[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为，对则抛物线在点A处的切线方程为

（2）由（1）知f(n)=,则

即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a≥

当,

>2n3+1

当n=0,1,2时，显然

故当a=时，对所有自然数都成立

所以满足条件的a的最小值是。

（3）由（1）知，则，

下面证明：

首先证明：当0<x<1时，

设函数

当

故g(x)在区间（0,1）上的最小值g(x)min=g

所以，当0<x<1时，g(x)≥0,即得

由0<a<1知0<ak<1(),因此，从而

[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。

点击此处下载文档(rar格式，338.90KB)