22.(本题满分12分)
如图,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,双曲线(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F。
(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;
(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,证明△EGD∽△DCF,并求k的值。
解:(1)OABC为矩形,AB=OC=4,点E是
AB的中点,AE=2,OA=2,,
点E(2,2)在双曲线y=上,
k=2×2=4 ,点F在直线BC及双
曲线y= ,设点F的坐标为(4,f),f= =1,
所以点F的坐标为(4,1).
(2)①证明:△DEF是由△BEF沿EF对折得到的,
∠EDF=∠EBF=90º,点D在直线OC上,
∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º,
∠DGE=∠FCD=90º,∠GDE+∠GED=90º,∠CDF=∠GED,
△EGD∽△DCF;
② 设点E的坐标为(a ,2), 点F的坐标为(4,b),点E、F在双曲线y=上,k=2a=4b,a=2b,所以有点E(2b,2), AE=2b,AB=4,
ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b,
DC===2,
△EGD∽△DCF,= ,= ,b= ,
有点F(4,),k = 4×= 3.
23.(本题满分12分)
“低碳生活,绿色出行”,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆。
(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,问该商城4月份卖出多少辆自行车?
(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车进价为1000元/辆,售价为1300元/辆。根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货?
解:(1)设前4个月自行车销量的月平均增长率为x ,
根据题意列方程:64(1+x)2 =100 ,
解得x=-225%(不合题意,舍去), x= 25%
100×(1+25%)=125(辆) 答:该商城4月份卖出125辆自行车。
(2)设进B型车x辆,则进A型车辆,
根据题意得不等式组 2x≤≤2.8x ,
解得 12.5≤x≤15,自行车辆数为整数,所以13≤x≤15,
销售利润W=(700-500)×+(1300-1000)x .
整理得:W=-100x+12000, ∵ W随着x的增大而减小,
∴ 当x=13时,销售利润W有最大值,
此时,=34,
所以该商城应进入A型车34辆,B型车13辆。
24.(本题满分12分)
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,-2),交x轴于A、B两点,其中A(-1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D。
(1)求二次函数的解析式和B的坐标;
(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由。
解:(1)①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为(0,-2),c = -2 , - , b=0 ,
点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点,a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2;
②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称,点B的坐标为(1,0);
(2)∠BOC=∠PDB=90º,点P在直线x=m上,
设点P的坐标为(m,p), OB=1, OC=2, DB= m-1 , DP=|p| ,
①当△BOC∽△PDB时,,,p= 或p = ,
点P的坐标为(m,)或(m,);
②当△BOC∽△BDP时, ,,p=2m-2或p=2-2m,
点P的坐标为(m,2m-2)或(m,2-2m);
综上所述点P的坐标为(m,)、(m,)、(m,2m-2)或(m,2-2m);
(3)不存在满足条件的点Q。
点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上,
令点Q的坐标为(x, 2x2-2),x>1, 过点Q作QE⊥直线l ,
垂足为E,△BPQ为等腰直角三角形,PB=PQ,∠PEQ=∠PDB,
∠EPQ=∠DBP,△PEQ≌△BDP,QE=PD,PE=BD,
① 当P的坐标为(m,)时,
m-x = , m=0 m=1
2x2-2- = m-1, x= x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;
② 当P的坐标为(m,)时,
x-m= m=- m=1
2x2-2- = m-1, x=- x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;
③ 当P的坐标为(m,2m-2)时,
m-x =2m-2 m= m=1
2x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;
④当P的坐标为(m,2-2m)时,
x- m = 2m-2 m= m=1
2x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;
综上所述,不存在满足条件的点Q。
25.(本题满分14分)
我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质,如在关线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:;
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG.S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值。
解:(1)证明:如图1,连结CO并延长交AB于点P,连结PD。
∵点O是△ABC的重心,
∴P是AB的中点,D是BC的中点,PD是△ABC的中位线,AC=2PD, AC // PD,
∠DPO=∠ACO,∠PDO=∠CAO,
△OPD∽△CA,= = , = ,∴;
(2)点O是是△ABC的重心。
证明:如图2,作△ABC的中线CP,与 AB边交于点P,与△ABC的另一条中线AD交于点Q,则点Q是△ABC的重心,根据(1)中的证明可知 ,而 ,点Q与点O重合(是同一个点),所以点O是△ABC的重心;
(3)如图3,连结CO交AB于F,连结BO交AC于E,过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON,分别与AC、AB交于点M、N,
∵点O是△ABC的重心,
∴ = , = ,
∵ 在△ABE中,OM//AB,= = ,OM = AB,
在△ACF中,ON//AC,= = ,ON = AC,
在△AGH中,OM//AH,= ,
在△ACH中,ON//AH,= ,
∴ + = +=1, + =1, + = 3 ,
令= m , = n , m=3-n,
∵ = ,
= =
= -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- )2 + ,
∴ 当 = n = ,GH//BC时, 有最大值 。
附:或 的另外两种证明方法的作图。
方法一:分别过点B、C作AD的平行线BE、CF,分别交直线GH于点E、F。
方法二:分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线,垂足分别为E、F、N、M。
下面的图解也能说明问题: